Kaos och icke-linjära fenomen

Mål

Avsikten med kursen är att studenterna skall få en orientering om de speciella egenskaperna hos icke-linjära system av teoretiskt och ingenjörsmässigt intresse, samt också en orientering om några aktuella forskningsområden. Efter avklarad kurs kan studenten:

• redogöra för grundläggande begrepp inom den icke-linjära fysiken såsom kaos, fraktala dimensioner, integrabilitet, solitoner och kvantkaos, samt ge exempel på viktiga tillämpningar av dessa begrepp inom olika naturvetenskapliga discipliner.
• modellera enklare ickelinjära dynamiska system matematiskt, och beskriva några av deras karakteristiska egenskaper genom att analysera bifurkationer, beräkna Lyapunov-exponenter samt beräkna fraktala dimensioner för systemens attraktorer.
• redogöra för mekanismer för uppkomst av kaos i konservativa system och egenskaper hos motsvarande kvantmekaniska system, samt lösa problem genom att tillämpa teorin för Hamiltonska system på enkla modeller.
• härleda solitonlösningar i speciella matematiska modeller för vågutbredning i ickelinjära media, samt exemplifiera dessas fysikaliska signifikans.

Innehåll

Introduktion. Experiment och enkla modeller. Vibrationer i mekaniska system och elektriska kretsar. Ickelinjära avbildningar och deterministiskt kaos. Universellt uppförande hos kvadratiska avbildningar. Bifurkationer. Poincaré-avbildningar. Lyapunov-exponenter. Fraktala dimensioner. Period-fördubbling. Homokliniska och heterokliniska banor. "The intermittency route" till kaos. Säregna attraktorer i dissipativa dynamiska system. Övergången från kvasiperiodicitet till kaos. Reguljär och irreguljär rörelse i konservativa system. Integrabla och icke-integrabla system. Solitoner och "breathers" med tillämpningar. Kaos i kvantmekaniska system.