Beräkningsmetoder för ordinära och partiella differentialekvationer

Mål

Många viktiga problem från teknik, naturvetenskap och ekonomi formuleras med hjälp av differentialekvationer. Det är alltså av stor betydelse att kunna lösa sådana noggrant och effektivt. I kursen behandlas finita differensapproximationer av partiella differentialekvationer samt numeriska metoder för att lösa ordinära differentialekvationer. Teorin illustreras med hjälp av problem från relevanta tillämpningar. Efter avslutad kurs ska studenten kunna

• förklara viktiga termer och begrepp
• härleda differensapproximationer av derivator med önskade egenskaper samt förstå hur randvillkor skall behandlas numeriskt.
• förklara och använda standardmetoder, särskilt Runge-Kutta metoder, för tidsberoende problem
• förklara vad styvhet innebär för ett tidsberoende problem och använda implicita tidsstegningsmetoder för att lösa styva problem
• förklara vilka krav som ställs på ett beräkningsnät för att en finita differensapproximation skall kunna ge ett bra resultat
• skriva egna datorprogram i Matlab som löser olika typer av partiella differentialekvationer
• bedöma kvaliteten på en numerisk lösning.

Innehåll

Klassificering av differentialekvationer, noggrannhetsordning, konsistens, konvergens, välställdhet, stabilitet, stabilitetsanalys med Fourieransats. Ordinära differentialekvationer: Runge-Kutta-metoder, explicita och implicita metoder, styva problem. Partiella differentialekvationer: Finita differensmetoden, interpolation av randvillkor, Crank-Nicolsons metod.